三次方程的解？
一般情形 令K为域，可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根r，然后把方程 图片参考：upload.wikimedia/math/0/9/b/09bc1131a281bb62e645ac010ed51c67 除以x − r，就得到一个二次方程，而我们已会解二次方程。 在一个代数封闭域，所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域，这是代数基本定理的结果。 解方程步骤： 把原来方程除以首项系数a ( 图片参考：upload.wikimedia/math/d/f/4/df44347863ac17dc898a13f44f681d01 )，得到： 图片参考：upload.wikimedia/math/e/d/b/edba1d0732f9c34923658c6b94d199d6 。 代换未知项 图片参考：upload.wikimedia/math/2/7/7/277b2d1a9e75598ed1dd24a77f334ea0 。故得: 图片参考：upload.wikimedia/math/e/b/5/eb5067c1df2180e71bf154ef1000a047 ，其中p和q是域中的数字。 来一妙著：记 图片参考：upload.wikimedia/math/e/5/5/e55d94c198dbf390b22c776448e2c22d 。 展开： 图片参考：upload.wikimedia/math/0/a/c/0ac81364bad4183a48f80f707ce682b1 。 重组： 图片参考：upload.wikimedia/math/a/b/1/ab1ec218861f3b22cab5e326cbc80245 。 分解： 图片参考：upload.wikimedia/math/8/f/d/8fdf44e1c11b71e3b486803e10e357b5 。 因为多了一个未知项（ 图片参考：upload.wikimedia/math/7/7/6/77698ae92ac0435f8da1e266eeb528e3 ），所以可加入一个条件，就是： 图片参考：upload.wikimedia/math/6/8/6/6865b500a90b0baf0c3c33c55741d8d6 。 设 图片参考：upload.wikimedia/math/0/2/8/0281603a15f0735e68981af227bde9c5 的根，这方程我们已会解出。 接下来， 图片参考：upload.wikimedia/math/8/7/b/87b8bf04d95e5993d17cca40efc9ea5c 。 在域 图片参考：upload.wikimedia/math/b/f/e/bfeb545600e3abbc7b84353936b388f1 是单位的立方根。 因为乘积 图片参考：upload.wikimedia/math/6/1/7/617acff074253977d7c5bad1f6f4ded3 。 实数情形 最先尝试解的三次方程是实系数（而且还是整数）。因为实数域并非代数封闭，方程的根数目不一定是3。所遗漏的根都在 图片参考：upload.wikimedia/math/c/3/f/c3f97a4420c67227501e8aa037c1c616 的计算中取平方根时。取立方根没有产生问题。 可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式（乘以27） 图片参考：upload.wikimedia/math/4/c/7/4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba ： 若Δ > 0，只有一个实根，其他两个是共轭复根。 若Δ = 0，有一个实重根：一个三重根或一个二重根和一个单根，都是实根。 若Δ < 0，有三个实根。 注意到至少有一实根存在，这是因为非常数多项式在 图片参考：upload.wikimedia/math/a/9/8/a9854a9381d4808dfc1e2d223a8f7110 的极值是无穷大，对奇次多项式这两个极限异号。由于多项式是连续函数，从介值定理知道它在某点的值为0。 第一个例子 解 图片参考：upload.wikimedia/math/a/5/f/a5fc3d8b6c5ab520e7acdc3f8fa46e31 。 我们依照上述步骤进行： 图片参考：upload.wikimedia/math/d/b/5/db5ce266c35d74ab5e8c47cd26815a9c （全式除以2） 设x = t + 1，故t = x − 1，代换： 图片参考：upload.wikimedia/math/4/4/0/440ee25c24194059cbcb18d3634f060d 。 x = u + v，U = u3，V = v3。设U + V = − 1和UV = − 1。U和V是X2 + X − 1 = 0的根。 图片参考：upload.wikimedia/math/0/a/c/0ac3bac855d0e2cd4036520c83be3227 ， 图片参考：upload.wikimedia/math/e/4/e/e4e29e5b3434a1e6678b3e762eba817d 。 t = x − 1 = u + v − 1 图片参考：upload.wikimedia/math/c/2/1/c21dd2b133fd0660a95960c23af2d635 第二个例子 这是一个历史上的例子，因为它是邦别尼考虑的方程。 方程是x3 − 15x − 4 = 0。 从函数 图片参考：upload.wikimedia/math/c/4/e/c4ec77426dfe2f3005b06e8f968f158c 算出判别式的值Δ = − 13068 < 0，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。 首两步都不需要做。做第三步：x = u + v，U = u3，V = v3。 U + V = 4和UV = 125。 图片参考：upload.wikimedia/math/c/3/f/c3f97a4420c67227501e8aa037c1c616 是X2 − 4X + 125 = 0的根。这方程的判别式已算出是负数，所以没有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。 我们解出U = 2 − 11i和V = 2 + 11i。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3，取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部： 现设u = a + bi。 u3 = 2 − 11i等价于： a3 − 3ab2 = 2 （实部） 3a2b − b3 = − 11 （虚部） a2 + b2 = 5 （模） 得到a = 2和b = − 1，也就是u = 2 − i，而v是其共轭：v = 2 + i。 归结得x = u + v = (2 − i) + (2 + i) = 4，可以立时验证出来。 其他根是 图片参考：upload.wikimedia/math/1/3/b/13bd37e6a72c6678e72f4dbc5ab78579 。 当Δ是负， 图片参考：upload.wikimedia/math/b/f/c/bfc9057e9d5bd1fa1b5c29c6003cc28e ）； 所以我们可确保x是实数，还有x'和x''。
我相信你要的是三次方程的代数解吧！这必须要有复数 (plex numbers) 的基础。（即使所有解都是实数，但解的过程仍涉及复数的知识）。 以下是一个解法。（假设你对复数有一定认识，如果你不懂的话，你还是先把它搞清楚吧。只要你懂得解 x^3 = 1 的三个根便可以继续……） 题： 解 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ...(1) 解： 设 u 和 v 为任意实数，使得 y = u + v ...(2) 是三次方程 y^3 + py + q = 0 ... (3) 的根（注意，这个方程没有二次项，而三次项的系数是 1）。把根代入方程，得 u^3 + 3u^2 v + 3uv^2 + v^3 + p(u + v) + q = 0 (u^3 + v^3) + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0 (u^3 + v^3) + (3uv + p)(u + v) + q = 0 ... (4) 这里，由于 y = u + v 这个式子当中， u 可取任何数值，所以不妨对 u 和 v 设立一些限制。 现在限制 (4) 式中， (3uv + p) 必须等于0，即 uv = -p / 3 ...(5) 并且从 (4) 式得到 (u^3 + v^3) = -q 现在为了解出 u 和 v，我们可以建立一个以 u^3 和 v^3 为根的二次方程。 由于两根之和 = -q，并两根之积 = (uv) ^ 3 = -p / 27 因此，该方程是 t^2 + qt - p / 27 = 0 ...(6) 不妨又设这二次方程 (6) 的两个根为 h 和 k。 解得 h 和 k 之后，我们需要解两条简单的三次方程： h = u^3 k = v^3 由于这个式各有三个根 u = h^(1/3)，wh^(1/3)，w^2 h^(1/3) v = k^(1/3)，wk^(1/3)，w^2 k^(1/3) 其中 w 是二次方程 1 + r + r^2 = 0 的一个根。 因此 (2) 式 y = u + v 共有九个可能的组合。然而，(2) 式是三次方程 (3) 的根，因此这九个可能的组合中只有三个组合是正确的。 注意 u 和 v 必须 (5) 式，因此 u 和 v 相乘之后不会出现 w 这个数值。由于 w^3 = 1 （why? 如果你懂得复数的话，你应该明白的），因此只有以下三个组合 u = h^(1/3)，v = k^(1/3) u = wh^(1/3)，v = w^2 k^(1/3) ... (7) u = w^2 h^(1/3)，v = wk^(1/3) 现在，这三个 u 和 v 的组合中所得的三个 y = u + v 便是三次方程 (3) 的三个根了。 好了！以上即是说明，若果三次方程中没有二次项，则可以用上述方法解出三次方程的三个根了。现在考虑方程 (1) ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 设 x = y + f ...(8) 代入 (1) 可得 a(y+f)^3 + b(y + f)^2 + c(y + f) + d = 0 然后找出 y^2 项的系数 y^2 项的系数 = 3af + b 并设 y^2 项的系数为 0，即 3af + b = 0 f = -b / 3a ...(9) 现在我们把一条关于 x 的三次方程化为没有 y^2 项的三次方程，那么可以从上面方法解得 y，并从 (8)、(9) 解得 x = y + f x = y - b / 3a ...(10) Q.E.D. 那么，要解一般的三次方程式 (1)， 第一步：用 (8)、(9) 计算 f、p 和 q 的值。 （这一步是为了建立 (3) 式，注意要确保 y^2 项消去，并且 y^3 项的系数为 1。） 第二步：解方程 (6)，并按 (7) 取得方程 (3) 的三个根。 （注意，w 是当作一个常数，而这些根均是以 w 表示。） 第三步：把 (3) 的根代入 (10) 得 (1) 的根。 补充一些定理 1. 从中值定理 (intermediate value theorem) 可知，实系数的三次方程至少有一个实根。 2. 从代数基本定理(fundamental theorem of algebra) 可知，n 次方程（n 为正整数）在复数有 n 个根（包括多重根）。
参考: 如果你系 AL pure math
可以试试找一些长题目(应该数量不多) 是用这方法解三次方程
你也可去 *** 找找看
en. *** /wiki/Cubic_equation 一至四次方程都有general formula去解 五次或以上就没有
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三次方程的解法发现
中国南宋伟大的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多。现在，这种方法被后人称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。欧洲三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的．最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为口吃者）．他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突。最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的。三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来。由于卡尔丹在1545年首先发表了三次方程X^3+pX+q=0的解法，因此数学资料称此解法为“卡尔丹公式”并沿用至今。以下介绍的三次方程X^3+pX+q=0的解法，就是上文中提到的卡尔丹公式解法。
