霍夫变换的应用
这个性质就为我们解决问题提供了方法：首先，我们初始化一块缓冲区，对应于参数平面，将其所有数据置为0.对于图像上每一前景点，求出参数平面中的对应直线，并将该直线上所有点的出现次数进行统计。最后，找到参数平面上出现次数最多的点位置，这个位置就是原图像上直线的参数。上面就是霍夫变换的基本思想。就是把图像平面上的点对应到参数平面上的线，最后通过统计特性来解决问题。假如图像平面上有两条直线，那么最终在参数平面上就会看到次数统计的两个峰值点，依此类推。在实际应用中，y=k*x+b形式的直线方程没有办法表示x=c形式的直线(这时候，直线的斜率为无穷大)。所以实际应用中，是采用参数方程p=x*cos(θ)+y*sin(θ)。这样，图像平面上的一个点就对应到参数p---theta平面上的一条曲线上。其它的还是一样。
Hough变换
Hough变换是利用图像全局特性有可能把边缘象素连接起来组成区域封闭边界的一种方法。在预先知道区域形状的条件下，利用Hough变换可以方便地得到边界曲线，把不连续的边缘象素点连接起来，还可以直接检测某些已知形状的目标，并有可能确定边界到亚象元精度。其主要优点是受噪声和曲线间断的影响小。为了便于理解Hough变换这种功能，先举一个简单例子。设给定图像中的n个点，要从中确定连在同一直线上的点的子集。这可看作已检测出的若干点，去求出它们所在的直线。一种直接解决办法是先确定所有由任意两点决定的直线（约需n2次运算以确定n（n-1）/2 条直线），再找出接近具体直线的点的集合（约需n2次运算以比较n个点中的每一个与n（n-1）/2条直线中的每一条）。这么大的计算量实际上不易实现。如果用Hough变换：的方法就可用较少的计算量来解决这个问题。这种变换的基本思想是点一线的对偶性，Duality在图像空间XY中，所有过点（x，y）的直线都满足方程：Y=px + q （5-15）式中P为斜率，q为截距，式（5-15）也可以写成：q=- px + Y （5-16）式（5-16）可以认为是代表参数空间PQ中过点（p，q）的一条直线。现在来看图5-9a表示图像空间，（b）表示参数空间。在图像空间XY中，过点（xi，yi）的通用直线方程按式（5-15）可写为yi=pxi+q，也可以按式（5-16）写为q=-pxi+yi；它表示在参数空间PQ里的另一条直线。设这两条直线在参数空间PQ里相交于点（p′，q′），这里点（p′，q′）对应图像空间XY中一条过点（xi，yi）和（xi，yi）的直线，因此在图像空间XY中过点（xi，yi）和（xj，yj）的直线上的每个点都对应在参数空间PQ里的一条直线，这条直线相交于点（p′，q′）。由此可知，在图像空间中共线的点对应在参数空间里相交的线。反过来在参数空间中相交于同一个点的所有直线在图像空间里都有共线的点与之对应。这就是点线对偶性。Hough变换就是根据这些关系把在图像空间中的检测问题转换到参数空间里，通过较简单的累加统计完成检测任务。在具体计算时需要在参数空间PQ里建立一个二维累加数组。设这个累加数组为A（p，q），如图5-10所示。其中［Pmin，Pmax］和［qmin，qmax］分别为预期的斜率和截距的取值范围。开始时置数组A为零，然后对每一个图像空间中的给定点，让p取遍p轴上所有可能的值，并根据式（5-16）算出对应的q，再根据p和q的值（设都已经取整）对A累加：A（p，q）=A（p，q）+1，累加结束后，根据A（p，q）的值就可知道有多少点是共线的，即A（p，q）的值就是在（p，q）处共线点的个数。同时（p，q）值也给出了直线方程的参数，于是我们得到了点所在的线。图5-9 图像空间和参数空间中点和线的对偶性图5-10 参数空间里的累加数组示意图假设我们把P轴分成K份，即P取K个值，那么对每一个点（xk，yk）由式（5-16）可得到q的K个值。因为图中有n个点，所以这里就需要nK次运算。可见运算量是n的线性函数。如果K比n小，则总计算量必小于n2，这就是Hough变换的优势所在。Hough变换不仅可用来检测直线和连接处在同一条直线上的点，也可以用来检测满足解析式f（x，c）=0形式的各类曲线并把曲线上的点连接起来。这里x是一个坐标矢量，在二维图像中是一个二维矢量，c是一个系数矢量，它可以根据曲线的不同，从二维、三维到四维等，凡能写出方程的图形，都可以利用Hough变换来检测。自然界有许多要素有一定的形状、分布与伸展方向，但可能受其他因素遮蔽而显现得不清晰或断断续续，例如，地质体的线性构造、环形构造等，在地质探矿、地质稳定性分析等方面都有重要意义，可是在遥感图像上有时反映得不太清楚，如果借鉴Hough变换的基本思想来处理图像，可能有助于构造信息的提取。
霍夫变换的应用实例1
在看下面一个问题：我们要从一幅图像中检测出半径已知的圆形来。这个问题比前一个还要直观。我们可以取和图像平面一样的参数平面，以图像上每一个前景点为圆心，以已知的半径在参数平面上画圆，并把结果进行累加。最后找出参数平面上的峰值点，这个位置就对应了图像上的圆心。在这个问题里，图像平面上的每一点对应到参数平面上的一个圆。把上面的问题改一下，假如我们不知道半径的值，而要找出图像上的圆来。这样，一个办法是把参数平面扩大称为三维空间。就是说，参数空间变为x--y--R三维，对应圆的圆心和半径。图像平面上的每一点就对应于参数空间中每个半径下的一个圆，这实际上是一个圆锥。最后当然还是找参数空间中的峰值点。不过，这个方法显然需要大量的内存，运行速度也会是很大问题。有什么更好的方法么?我们前面假定的图像都是黑白图像(2值图像)，实际上这些2值图像多是彩色或灰度图像通过边缘提取来的。我们前面提到过，图像边缘除了位置信息，还有方向信息也很重要，这里就用上了。根据圆的性质，圆的半径一定在垂直于圆的切线的直线上，也就是说，在圆上任意一点的法线上。这样，解决上面的问题，我们仍采用2维的参数空间，对于图像上的每一前景点，加上它的方向信息，都可以确定出一条直线，圆的圆心就在这条直线上。这样一来，问题就会简单了许多。
