蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
蝴蝶定理的证明
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP,这对2，3均成立。验证推导霍纳证法过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF
证法1:霍纳证法
∴DS/FS=DE/FC根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2
∴DS/FS=DL/FT
又∵∠D=∠F
∴△DSL∽△FST
∴∠SLD=∠STF
即∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
作图法证法2
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。（证明过程见图片）
证明方法二
对称法证法3:对称证法
（证明过程见图片）面积法证法4:面积法
（证明过程见图片）【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】帕斯卡证法连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，
连接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共线
证法5:帕斯卡定理证法
∵M为AB中点∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°又∵CI、EJ为⊙O直径
∴∠GFK=∠HDK=90°
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°
∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH
又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK（ASA）
∴GM=MH
相似法
图4
如图4，过H作DG的平行线，交DF于K，交GE的延长线于L。
则△GIC∽△LHC，△DIC∽△KHC
∴
两式相乘，得~~~①
又，∠L=∠G=∠F
∵∠EHL=∠KHF
∴△EHL∽△KHF
∴
∴（相交弦定理）
∵AC=BC
代入上式得
又∵（相交弦定理）
将上述两式全部代入①中，得
∴IC=HC
蝴蝶定理
射影法蝴蝶定理
1.构造特殊情况：如右图1，A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.2.中心投影：在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被射影为椭圆，线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，如图2，则对应存在P''O''=Q''O''.
3.仿射：将图2的椭圆仿射为圆，如图3，由仿射不变性知PO=QO.
解析几何证法利用曲线系可以证明任意圆锥曲线（包括退化情形）的蝴蝶定理。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
证明：以PQ所在直线为x轴，M为坐标原点建立直角坐标系。
由于直线AB、CD经过原点M，其方程可分别设为，其中系数不全为0。则方程C1：表示这两条直线。
又设已知圆锥曲线方程C2为
那么，经过ABCD四点的曲线系C可写成：
设P(-t,0)，Q(t,0)，则P、Q的坐标满足方程C2，即
两个方程相减即得d=0，即C2中不含关于x的一次项。
回到曲线C中，令y=0，得C与x轴交点的横坐标x满足：
这是一个关于x的一元二次方程，因一次项系数为0，韦达定理得x1+x2=0
也就是说，曲线C与x轴的两个交点关于原点M对称。
因为弦AD、BC组成一条通过ABCD的曲线C，它和x轴交于X，Y，所以有MX=MY。
定理推广该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
蝴蝶定理的圆外形式：
圆外蝴蝶定理
如图，延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M，过点M做OM垂线，垂线与CB和AD的延长线交于E、F，则可得出ME=MF（证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4）1.在椭圆中
如图一，椭圆的长轴A、A与x轴平行，短轴BB在y轴上，
中心为M(o，r)（b>r>0）。
（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率
（II）直线y=kx交椭圆于两点C（x,y）,D(x，y)（y>0）；直线y=kx交椭圆于两点G（x，y），H（x，y）（y>0）。求证：kxx/(x+x)=kxx/(x+x)
（III）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：|OP|=|OQ|。（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y'
证明过程图片
设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得为1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4②’
将①’两边同乘以k1·k2，即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。
2.在圆锥曲线中
通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。
射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.
由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。
在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。
3.在平行四边形中
在平行四边形中，M为对角线AB与CD中点。
4.坎迪定理
坎迪定理
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的比例式，成为「坎迪定理」，这对2，3均成立[1]发展历史这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。
这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是相等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。
另外一种早期的证明由M.布兰德（Mile Brand）1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"给出，只有一句话，用的是线束的交比。
“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。
1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法，利用直线束，二次曲线束。
1990年，CMO出现了筝形蝴蝶定理。
定理意义蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。[2]
