零点定理的条件

时间:2024-04-05 23:53:54编辑:奇事君

零点定理、最值定理、介值定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、积分中值定理。

1、零点定理

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。(至少存在一个点,其值是0)

2、最值定理

若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有最大值与最小值。

3、介值定理

因为f(x)在[a,b]上连续,所以在[a,b]上存在最大值M,最小值N即对于一切x∈[a,b],有N<=f(x)<=m

4、费马定理

函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义,并且在ξ处可导,如果对于任意的x∈U(ξ),都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) ),那么f'(ξ)=0

5、罗尔定理

如果函数f(x)满足以下条件:

(1)在闭区间[a,b]上连续

(2)在(a,b)内可导

(3)f(a)=f(b)

则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0。

6、拉格朗日中值定理

如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈(a,b),使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a),f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。

7、柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)满足:

(1)在闭区间【a,b】上连续

(2)在开区间(a,b)内可导

(3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0

那么在(a,b)内至少有一点ζ,使等式【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

8、积分中值定理

若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,,则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ,使下式成立

∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) ( a≤ ξ≤ b)。

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